Κατάσκοποι και ευγενής

Κατάσκοποι και ευγενής 

Σε ένα νησί κατοικούν ευγενείς και απατεώνες. Οι ευγενείς λένε πάντα αλήθεια, ενώ οι απατεώνες πάντα ψέματα.

(α)  Ένας επισκέπτης συναντάει δύο κατοίκους του νησιού, τον Α και τον Β. Οι δύο κάτοικοι δηλώνουν:

            Α: «Αν είμαι ευγενής τότε ο Β είναι απατεώνας»

            Β: «Είμαι ευγενής και ο Α είναι απατεώνας».

       Τι συμπέρασμα προκύπτει ως προς την ιδιότητα των δύο κατοίκων;

(β)  Είναι γνωστό ότι στο νησί υπάρχουν και κατάσκοποι, ο οποίοι λένε είτε αλήθεια, είτε ψέματα. Ο επισκέπτης του νησιού συναντάει τρεις κατοίκους τους Α, Β, Γ, για τους οποίους γνωρίζει ότι ένας είναι ευγενής, ένας απατεώνας και ένας κατάσκοπος. Οι τρεις κάτοικοι δηλώνουν:

            Α: «Ο Β είναι κατάσκοπος»

            Β: «Ο Γ είναι κατάσκοπος»

            Γ: «Ο Β είναι κατάσκοπος»

            Τι συμπέρασμα προκύπτει ως προς την ιδιότητα των τριών κατοίκων; 
------------------------------------------------------------------------------------------

Θέτουμε φ:ο Α ευγενής

Και ψ :ο Β ευγενής

Οι κάτοικοι δηλούν δηλώνει τις παρακάτω εκφράσεις

            Α: «Αν είμαι ευγενής τότε ο Β είναι απατεώνας»

            Β: «Είμαι ευγενής και ο Α είναι απατεώνας».

Οι εκφράσεις – δηλώσεις των κάτοικων  είναι ισοδύναμες στην ΠΛ

Α: φ ®Øψ

B: ψÙØφ

Τώρα μπορούμε να κάνουμε τον πίνακα αλήθειας από τις δηλώσεις των κατοίκων.

αα	φ	ψ	Øφ	Øψ	φ ®Øψ	ψÙØφ
1	Α	Α	Ψ	Ψ	Ψ	Ψ
2	Α	Ψ	Ψ	Α	Α_	Ψ_
3	Ψ	Α	Α	Ψ	Α	Α
4	Ψ	Ψ	Α	Α	Α	Ψ

Ήδη από την πρώτη έκφραση του Α  που είναι φ ®Øψ θα μπορούσαμε να εξετάσω μονό το αα=2 διότι :

το αα=1 έχουμε Ψ=Α και αποτίμηση  ψευδής  Οπού δεν ισχύει  γιατί θεωρώ τον Α ευγενή και επομένως δεν μπορεί να λέει ψέματα (φ ®Øψ είναι η έκφραση του)

Ακόμα τα αα=3 και αα=4 που θεωρώ τον Α κατάσκοπο (αφού =Ψ) επομένως η δήλωση του Α θα πρέπει να είναι ψευδή που δεν ισχύει.

Θα μπορούσαμε απευθείας να ελέγξουμε την  έκφραση του Β (ψÙØφ) μονό στο  αα=2 διότι τις υπόλοιπες τις αποκλείσαμε.
Τελειώνοντας  παρατηρούμε ότι το αα=2 του πίνακα ικανοποίει τις υποθέσεις μας αλλά και τα συμπεράσματα μαςΔηλαδή ο Α είναι ευγενείς  και ο Β απατεώνας  .Ο Α ως ευγενής που λέει πάντα την αλήθεια η έκφραση του φ ®Øψ είναι αληθής . Ενώ ο Β ως κατάσκοπος  λέει ψέματα έτσι και η έκφραση του ψÙØφ θα είναι ψευδής.

Β

.

Γνωρίζουμε ότι  κάθε κάτοικος είναι είτε ευγενής είτε κατάσκοπος ή απατεώνας  και καθένας είναι διαφορετικός  δηλαδή έχουμε περιορισμό ότι έχουμε ένα από το κάθε είδος. Μπορούμε να σχηματίσουμε τον πίνακα αλήθειας με βάση των ιδιοτήτων  του κάθε κατοίκου. Δηλαδή οι πρώτες τρεις στήλες θα  είναι οι υποθέσεις μας και οι άλλες τρεις θα είναι οι δηλώσεις που μπορούμε να τις αποτιμήσουμε από τις υποθέσεις που κάνουμε για κάθε κάτοικο.

Έχουμε τις δηλώσεις

Α: «Ο Β είναι κατάσκοπος»

            Β: «Ο Γ είναι κατάσκοπος»

                        Γ: «Ο Β είναι κατάσκοπος

αα	Ευγενής	Απατεώνες	Κατάσκοπος	Δήλωση Α	Δήλωση Β	Δήλωση Γ
1	Α	Β	Γ	Ψ	Α	Ψ
2	Α	Γ	Β	Α	Ψ	Α
3	Β	Α	Γ	Ψ	Α	Ψ
4	Β	Γ	Α	Ψ	Ψ	Ψ
5	Γ	Α	Β	Α	Ψ	Α
6	Γ	Β	Α	Ψ	ψ	Ψ

Παράδειγμα στο πίνακα με αα=1 υποθέτουμε ότι Α είναι ευγενής Β απατεώνες και ο Γ κατάσκοπος έτσι η δηλώσεις θα είναι Ψ,Α,Ψ με βάση τις υποθέσεις που κάναμε δηλαδή η δήλωση του Α: «Ο Β είναι κατάσκοπος» είναι ψευδής αφού υποθέσαμε ότι Β είναι απατεώνες ενώ δήλωση του  Β: «Ο Γ είναι κατάσκοπος» είναι Αληθείς διότι υποθέσαμε πως ο Γ είναι κατάσκοπος αντίστοιχα και η έκφρασε του  Γ: «Ο Β είναι κατάσκοπος είναι ψευδής διότι υποθέσαμε πως Β απατεώνες.

Αντίστοιχα συμπληρώνουμε  τον πίνακα .

Πρέπει να βρούμε την γραμμή η τις  γραμμές όπου θα ικανοποιούνται οι υποθέσεις και  τα συμπεράσματα μας.

Ξεκινάμε με το να αποκλείουμε γραμμές

Αρχικά στον πίνακα με αα=6  όπου υποθέτουμε πως Γ είναι ευγενής  όμως καταλήγει η δήλωση του να είναι ψευδής . Άρα δεν ισχύει – οι ευγενείς λένε πάντοτε αλήθεια.

Το ίδιο και για το αα=1 που Ο Α καταλήγει να λέει ψέματα ενώ το θεωρούμε ευγενή. Ακριβώς το ίδιο είναι και για το αα=4  όπου το ρόλο του ευγενή τον έχει ο Β

Τέλος για το αα=2 το αποκλείουμε διότι ενώ ικανοποιείται η υπόθεση μας για το Α  (θεωρούμε το Α ευγενή που  λέει πάντα αλήθεια ) δεν ικανοποιείται η υπόθεση του Γ διότι η έκφραση του Γ είναι Αληθείς ενώ εμείς θεωρούμε το Γ απατεώνα και οι απατεώνες λένε πάντα ψέματα .Το ίδιο και για το αα=5 όπου ο Α είναι απατεώνες και λέει αλήθεια.

Επόμενος καταλήγουμε  στο αα =3 όπου ευγενής είναι ο Β ,Απατεώνας ο Α και κατάσκοπος ο Γ   Οι υποθέσεις είναι σε συμφωνία με τις δηλώσεις του κατοίκων ο Β ως ευγενής λέει πάντα αλήθεια και η δήλωση του είναι αληθής. Αντίθετα ο Α είναι απατεώνες  και οι δηλώσεις του είναι ψευδής Τέλος κατάσκοπος είναι ο Γ  που μπορεί να λέει είτε ψέματα είτε αλήθεια στην δίκια μας περίπτωση η δήλωση του είναι ψευδής.